1 Faezilkree

Rechnen Mit Restklassen Beispiel Essay

Questa is governed by a Mayor and a four-member Village Council, who have 4-year
staggered terms.

  • Mark Gallegos, Mayor – mgallegos@villageofquesta.org
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  • Brent Jaramillo, Councilor – bjaramillo@villageofquesta.org
  • Charlie Gonzales, Councilor – cgonzales@villageofquesta.org
  • John Anthony Ortega, Councilor – jortega@villageofquesta.org

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2500 Old State Rd. 3  (off main road, north of the light, behind the Police Station)
Questa, NM 87556
phone:  575-586-0694

Village Council meetings are open and scheduled monthly; on the 2nd and 4th Tuesdays, at 6pm.   Do check this website for upcoming meetings and agendas, and to review the minutes of previous meetings.

Anyone may attend a Council meeting, as public comments are a part of each gathering.   However since an issue brought up during public comments is not on the agenda, it cannot be responded to immediately, though may direct staff to address the issue at a future Council meeting.  Public comments are limited to a maximum of 3 minutes.

You may phone Village Clerk, Renee Martinez, by the preceding Thursday to get your concern included on the agenda as New Business.  Phone number for Village offices is 586-0694.

Requests for funding of plans that will have a beneficial community impact can be made.  If the Council approves your plan, and if funding sources or revenue is available, you may be instructed to present your plans at other meetings as funding is sought.

  • Sind a und b ganze Zahlen, so heißt a kongruent b modulo m, wenn ihre Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von m ist.
    In Zeichen: oder kurz .

Beispiele:
bedeutet , und heißt .
Aber es gilt nicht , da ist.

Dabei ist es von Bedeutung, dass für jede ganze Zahl durch die Relation eine Äquivalenzrelation in gegeben ist, die in Äquivalenzklassen aufteilt.

  • Satz: Es seien a, b und m ganze Zahlen mit .
    Die Relation ist eine Äquivalenzrelation in , die sogenannte Kongruenz modulo m.

Beweis:
(1) Die Kongruenz modulo m ist reflexiv, da für alle a aus gilt:


(2) Die Kongruenz modulo m ist symmetrisch, da für alle a, b aus gilt:
Wenn , dann ist auch , denn ist äquivalent zu . Damit gilt , d.h.


(3) Die Relation ist auch transitiv, d.h. für alle a, b, c aus folgt aus und auch , denn und ist äquivalent zu den Gleichungen und . Das Ergebnis folgt aus der Addition der beiden Gleichungen:

  • Definition: Die Klassen der Klasseneinteilung in , welche der Kongruenz modulo m entspricht, heißen Restklassen modulo m.
    Die Schreibweise bezeichnet diejenige Restklasse, die die Zahl a enthält.

Für erhält man die folgenden Restklassen:

Der Name Restklasse erklärt sich aus folgendem Zusammenhang:

  • Satz: Es gilt genau dann, wenn a und b bei der Division durch m den gleichen Rest r mit lassen.

Daraus folgt, dass es genau m Restklassen modulo m gibt, nämlich Die Zahlen bilden ein vollständiges Repräsentantensystem der Klassen modulo m, welches das kleinste nichtnegative Repräsentantensystem genannt wird.

Beweis (des obigen Satzes):
Falls beide Zahlen bei der Division durch m den gleichen Rest lassen, also
gilt, folgt:

Da ist, ergibt sich .
Umgekehrt ergibt sich aus mit durch Einsetzen in mit , dass auch b bei der Division durch m den gleichen Rest r lässt, da

ist.

Es sei noch darauf hingewiesen, dass in der Restklasse genau diejenigen ganzen Zahlen liegen, die Vielfache von m sind. Deshalb kann man auch die Teilbarkeitsrelation mit Hilfe der Kongruenz modulo m folgendermaßen formulieren:

Rechnen mit Kongruenzen

Mit Kongruenzen kann man wie mit Gleichungen rechnen, und das von CARL FRIEDRICH GAUSS (1777 bis 1855) stammende Kongruenzzeichen erinnert auch an das Gleichheitszeichen.

Es sei Dann gilt Damit ist es möglich, in der Menge der Restklassen eine Addition und eine Multiplikation zu erklären, die sich auf die entsprechenden Operationseigenschaften für die Repräsentanten stützt, aber nicht von der Wahl der Repräsentanten abhängt.

Die Addition und die Multiplikation von Restklassen lassen sich wie folgt definieren:

So gilt zum Beispiel , aber auch .

Die Operationseigenschaften der Addition und der Multiplikation in übertragen sich auf die Menge der Restklassen modulo m.

Es sei hier nur noch vermerkt, dass die Menge der m Restklassen modulo m bezüglich der unter definierten Addition und Multiplikation einen kommutativen Ring mit , den sogenannten Restklassenring von modulo m, bilden (in Zeichen: ).

Damit sind wir zu Beispielen für Ringe gelangt, die nur aus endlich vielen Elementen bestehen. Sie haben u.a. den Vorteil, dass man die Addition und die Multiplikation in Form von Strukturtafeln aufschreiben kann, was im Folgenden für den Restklassenring angegeben wird. In diesem Beispiel bedeutet stets .

Die Additions- und die Multiplikationstafel für die Restklassen modulo 6 haben folgende Form:

Eine Anwendung im Schulstoff findet die Kongruenzrelation u.a. in der Ableitung der Teilbarkeitsregeln.

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